De que mail y aplicacion hablamos?
El almacenamiento en local es posible sólo para las imágenes, algunos tipos de vídeo y los archivos PDF.
Para hacer esto vas a correo y alli mantienes un tap largo y en las opciones aparece guardar en el carrete si es imagen o video, en el caso de los pdf al abrirlos con iBooks deberia quedar almacenado en la biblioteca de iBooks para verlo luego.
Opcion de mejora a todo esto, instala GDrive o dropbox, y cuando mantienes el tap en el archivo adjunto elijes compartir y lo envias al servicio que quieras GDrive o Dropbox y ellos lo pondran en internet y en tu dispositivo segun la configuracion que utilices.
Suerte!
