Cómo averiguar el tamaño en bytes de una base de datos MySQL?

Para conocer cuanto espacio ocupan los datos en bytes debes utilizar SHOW TABLE STATUS
Te muestra información sobre las tablas de una base de datos. Entre los campos que te muestra, hay uno que es 'Data_length', bueno, pues eso es lo que ocupan los datos de cada tabla.
Por ejemplo

mysql_connect(datos de conexion) or die(mysql_error());
mysql_select_db("base_de_datos") or die(mysql_error());

$sql = "SHOW TABLE STATUS";
$resultado = mysql_query($sql) or die(mysql_error());
 
$total = 0;
while ($tabla = mysql_fetch_assoc($resultado))
 $total += ($tabla['Data_length']+$tabla['Index_length']);
 
echo $total;