Que es más recomendable para multiples consultas mysql?

Es mejor abrirla y cerrarla una sola vez la conexión, es mas rápido, realizas menos consultas, por lotanto consume menos ram y menos cpu. Asi evitas también el tiempo que precisa el servidor para validar al usuario, ese tiempo el servidor mysql no tiene que consumirlo. Si el servidor tiene muchas peticiones, ese tiempo multiplicado por la cantidad de peticiones pueden traer problemas por exceso de consumo de recursos.