¿Existe algún método en HTML5 que permita guardar información de la sesión del usuario como las antiguas cookies en HTML?

Sí, HTML5 implementa el concepto de Web Storage donde los navegadores pueden guardar información dentro del navegador del usuario, para comprobar que podemos usar Web Storage podemos usar el siguiente código:

if(typeof(Storage)!=="undefined")
  {
  // El navegador soporta web storage
  }
else
  {
  // El navegador NO soporta web storage
  }